Деление, которое она назвала magic seven, мне кажется более логичным и понятным, чем стандартный алгоритм. Извиняюсь, что выбиваюсь из общей струи. :) Учебник everyday math, если им пользоваться с умом (а не как в школе), довольно полезен. Ну, как Петерсон, которая полезна исключительно как неосновной учебник.
Нет. Получается, для деления с остатком - один алгоритм, а для деления дроби на дробь - другой. А для деления чисел кратных 10 можно придумать третий, и как-нибудь его назвать. Нельзя так забивать голову ученику средней школы.
Если есть способ, которым можно любое число разделить на любое число, то использовать нужно именно его.
Не поняла. Когда вы в уме делите 456780 на 10, вы "пишете" 4, из 45 вычитаете 40, затем сносите шестерку, пишете 5, из 56 вычитаете 50, сносите семерку... да? А алгоритм отбрасывания последнего нуля - ни-ни?
Стоп, стоп. Что я делаю в уме, это дело совершенно десятое. Это я расскажу школьникам или студентам после того, как объясню основную тему. Но отдельную главу учебника "Алгоритм Отбрасывания Последнего Нуля" я писать ни в коем случае не буду. А здесь речь идет именно об этом.
Нуу! Направо, демон, поворачивай! А теперь стой! Тпру! Стоп, кому сказала! А теперь едем дальше! Нно!
Речь идет о том, что "единый стандартный алгоритм" в everyday (а это тема учебника) практике редко кто применяет, обходятся самописными алгоритмами. Здесь эти алгоритмы даются в готовом виде, ничего не надо самому придумывать. Всего лишь. А крамола в признании факта, что люди для вычислений пользуются калькуляторами. Как будет вторгаться в сознание мысль о пользовании маткадом - страшно даже представить.
Кстати, деление чисел, кратных десяти, на десять как отбрасывание нуля есть абсолютно во всех учебниках, инаверняка было и в тех, по которым учились и вы. :)
Это отдельная тема :) Манипуляции с числителем и знаменателем нужно разъяснить отдельно.
Более адекватным примерном будет деление дробей с длинными числами: 5543/11 разделить на 317/243. Ответ нужен до пятого знака. Обойдетесь без деления в столбик?
Если использовать эту самую magic seven? Без проблем. :) Не вижу (ну правда не вижу), чем она так заметно хуже нашего столбика. Вы видите? И чем? Зато логичность подхода вижу.
А как Вы эти дроби в столбик вообще записываете? Без предварительного умножения 5543 на 243 и 11 на 317.
Мне уже надоело. И так для каждого разряда, которых у нас будет 9, ибо я попросил 5 знаков после запятой. Получаем где-то 45 строчек расчетов вместо девяти.
"Мне уже надоело" - не аргумент. Не согласны? ;) Мне вот надоело считать, сколько будет 13469 разделить с остатком на 3487. :) Личные преференции не являются аргументом, ок?
Продолжим. А почему Вы умножаете исключительно на десятки-сотни-тысячи? Сейчас прикину на бумажке, как бы я делала.
Эээ... Для начала, 3487*1000 - это БОЛЬШЕ 1 346 949, поэтому первое приближние у меня вовсе не 1000, а 300. Отнимаю 3487*300, т.е. 1 046 100. 1 346 949 - 1 046 100 = 300 849 Думаю, сколько раз наверняка 3400 с чем-то входит в 300 тысяч. Прикидываю, что 100 много, 50 мало, 75 считать лениво, но скорее 80, чем 70. Так что следующее 80. 3487*80=278 960. Отнимаю. 300 849 - 278 960 = 21 889 Пока что у меня ДВЕ строчки расчётов (для двух значащих цифр). :) Допускаю, что их может стать больше, чем по одной на цифру, но по крайней мере чётко и ясно, откуда это берётся.
Но суть Вашего изначального ...эээ... возмущения (я утрирую, да) была в том, что нужно учить метод, подходящий ко всем ситуациям, и был приведён пример, для которого такое деление, видимо, не подходит. Так? Теперь претензия идёт на то, что писать много (что не факт, но неважно), значит, способ уже подходит и для деления дробей. Отлично. Способ подходит. Т.е. метод годится как стандартный. Так? ;)
Теперь возвращаемся к началу. В чём всё же претензия к этому методу? Он более логичный и понятный - это плюс. В чём же минус?
Умножение идет только на десятки, сотни, тысячи потому, что в этом состоит алгоритм. Для чистоты эксперимента, будем соблюдать его в точности - так, как его преподают школьникам.
А школьники эти пока не умеют умножать в уме, поэтому это ваше "50 мало, 80 много" для них ничего не значит. То есть никакого "прикидываю" - отнимаем по 1000*, потом по 100*, потом по 10* и так далее. Если я правильно посчитал - 52 строчки.
Мне надоело - вполне себе аргумент. Например, азбука Морзе состоит из сочетаний двух символов. Заменить ее системой из только одного (А - один гудок, Z - 26) - идея неудачная только потому что сообщения выйдут слишком длинными. Несмотря на то, что очень короткие сообщения можно отдельно договорится передавать именно так.
У Вас перед собой есть everyday mathematics этот? Посмотрите. У меня есть всего лишь ученики, которые в школе по нему учатся и мне рассказывают, что было у них в школе, что учительница говорила. С их слов алгоритм именно в том, чтобы прикинуть, сколько раз наверняка делитель входит в делимое. Хоть 10, хоть 1000, хоть 356. Лишь бы действительно при умножении промежуточного ответа на делитель получалось число, меньшее делимого.
Кстати, умножение и зубрёжка таблицы умножения у них по плану за год до этого деления. Уже знают. estimation в предыдущем семестре, так что прикидочное умножение у них к этому моменту уже есть.
Но Ваш аргумент выше виден. Если есть способ, которым можно любое число разделить на любое число, то использовать нужно именно его. Вот он есть. ;) Универсальный, логичный, простой и понятный.
Моим источником был исключительно видеоклип, см. выше. Если они действительно угадывают "наверняка", то всё не так страшно. Единственный недостаток - это то, что у каждого студента выйдут разные записи при вычислении.
Угадывают в зависимости от того, как голова варит, конечно. Моя девица-ученица не то, чтобы совсем тупая :), хотя иногда удивляет меня абсолютным отсутствием понимания элементарных вещей, но деление на двузначное таким способом делает максимум за две строчки на знак.
(Зато иногда такие прикидки выдаёт - закачаешься. "Как думаешь, если каждый день учить три английских слова, сколько получится за месяц? В месяце 30 дней считаем." Ответ может быть любой от 10 до миллиона. Потому что не думает. В делении - думает (как ни странно) и сразу ответы получает.)
А Вы детям как объясняете наше деление в столбик? Просто как алгоритм, который удивительным способом даёт правильный ответ?
А я этого детям ни разу не объяснял. Я все-таки в школе не преподаю.
Вероятно, я бы объяснил с самого начала, как оно работает, и мои объяснения были бы похожи на magic seven. Но конечным результатом я бы сделал нормальное деление в столбик, и никаких промежуточных тем и альтернативных способов я бы им не давал. Сначала нужно научить получать правильный ответ.
Похожая история была с волшебным словом FOIL. Если вы не знаете, это мнемоническое правило first-out-in-last для перемножения (a+b)*(c+d)=ac+ad+bc+cd.
Даешь 20-летнему студенту: (x+1)^3, а он пишет, например: (x+1)^3=(x+1)*(x+1)^2=x*x^2+x*1^2+1*x^2+1*1^2=x^3+2*x^2+1
Мотивация "We did it this way in school. I foiled it"
ИМХО таким вещам место в "занимательной математике" какой ни будь , а не в школьном курсе.Все эти методы "триковые", а не строго математические.Попробуйте разяснить ребёнку почему надо делать именно так, а не иначе. С классическим методом всё просто , а с этими фокусами объяснение будет либо очень сложным , либо "такой способ, так и делай".
Объяснить, почему я прикидываю, сколько раз какое-нибудь число (делитель) входит в какое-нибудь другое число (делимое) наверняка, а потом добираю, сколько ещё осталось, я как раз легко могу, а вот объяснить, почему при делении 125 на 5 мы сначала смотрим на 12, и рассматриваем это именно как 12, а не 120 (и ведь всё равно смотрим сколько раз наверняка 5 входит в 12), потом считаем остаток, сносим последнюю цифру... По-моему, именно это, именно классический метод и является "такой способ, так и делай". Или у Вас есть хорошее объяснение, поделитесь тогда. Мне честно интересно. Так как столкнулась с необходимостью объяснять и вижу разницу в понимании.
Есть такое понятие -"базовые навыки".Это не самые удобные или эффективные методы решения каких-либо задач , а именно наиболее логичные , простые и жестко связанные с "аксиоматикой науки" методы.Например ,программистов учат писать на ассемблере,химиков- мокрой аналитической химии ,детей учат классической геометрии(все задачи решаются с помощью циркуля и линейки без делений)и.т.д. Почти никто этими методами в реальной жизни не пользуется , но их необходимо понимать.Если бы задачей курса школьной математики было именно научить детей эффективно делить или умножать, вы были бы правы .Но задача несколько иная, а именно , научить детей основам математики.Во всех этих методах ,например,не подразумевается понимания , что такое разряды чисел.Это методы "инструментальные", а не "аналитические".И в заключение , хочу заметить , что факт отвратительной мат. подготовки современных детей очень хорошо виден в университетах.Я это видел сам , об этом говорит и дама из клипа.Как известно , опыт, есть единственный критерий истины.
То есть, ответа на мой вопрос о логике деления в столбик нет и у Вас. Прискорбно. :(
(Кстати, понимание разрядов чисел я вижу именно в том, "не-нашем" делении. ;))
Факт отвратительной мат. подготовки американских школьников (в России имела дело только с математиками, а это нерепрезентативная выборка) мною был тоже замечен ещё в американском универе, где приходилось инженеров учить тригонометрии с нуля практически.
Вы не поняли моего ответа.Я не отвечал на вопрос "какова логика деления в столбик".Приведу только один аргумент для размышления: Деление в столбик это именно деление с помощью итераций деления , а не замена его умножением и сложением ,как во всех этих методах. Очень хорошей иллюстрацией моего отношения к проблеме современного преподавания математики и естественнонаучных дисциплин отражает вот эта статья: ПЯТОЕ ПРАВИЛО АРИФМЕТИКИ
Прошу прощения, не Вы ли в ответ на "мне кажется более логичным и понятным" такое деление написали Все эти методы "триковые", а не строго математические.Попробуйте разяснить ребёнку почему надо делать именно так, а не иначе. С классическим методом всё просто, а с этими фокусами объяснение будет либо очень сложным , либо "такой способ, так и делай. После чего я дала (мне кажется) логичное обяснение делению magic seven и спросила разъяснения стандартного способа деления, ибо Вы, судя по вышеприведённому отрывку, считаете, что эту логику объяснить просто. На что я получила пространный рассказ о плохом качестве преподавания математики в американских школах, с которым я абсолютно согласна. Вот только как всё же "просто" объяснить, откуда ноги растут у стандартного деления в столбик? В делении magic seven замена на умножение происходит не более, чем в стандартном делении в столбик. Там мы тоже умножаем цифру, которую пришем в результат, на делитель. И скорее эта семёрка является именно итерацией, если Вам будет угодно, деления. Так как при делении 125 на 5 мы получаем не 2, а 20 в первом приближении.
Я честно просто хочу объяснять то, что понятнее (и что даёт быстрый и правильный результат). Мне привычнее наше деление, зазубренное в школе, но оно на самом деле менее понятное и логичное, чем эта семёрка. ИМХО. И я честно прошу помощи в объяснении логики нашего деления.
За статью спасибо. С тем, что преподавание математики оставляет желать лучшего я безусловно согласна и по мере сил пытаюсь это исправить.
По зрелом размышлении , стоит ,наверное, сказать , что в таком упрощенном подходе к "научным проблемам" есть свое рациональное зерно. цитата Бур подошел к Треллу и дружески обнял пришельца за узкие зеленые плечи. — Ответь-ка мне на один вопрос, пижон. Трелл преданно посмотрел на возвышающегося над ним грунтландца: — Если сумею, сэр. — Зачем, черт возьми, все здесь выкрашено в белый цвет? — с любопытством поинтересовался Бур. — Стены, полы, потолки, двери. Разве там, откуда вы прилетели, белая краска самая дешевая, или что? На этот вопрос было нелегко ответить, но Трелл постарался изо всех сил. Тщательно подбирая самые простые слова и термины, он рассказал бандитам о гиперкосмосе, поведал о взаимозависимости между цветом и скоростью, которая существует только в этом удивительном пространстве. Он выбросил всю математику и пытался объяснить вещи предельно просто, но все равно ему потребовалось некоторое время, чтобы рассказать обо всем. Пока он говорил, транслятор хранил молчание. Когда лекция была закончена, транслятор заработал, используя самые понятные для слушателей научные термины. — Длинное заклинание, — объяснила коробочка на поясе Трелла, — сильное волшебство. Если не белый, корабль не летит быстро. “Кровавые Вышибалы” вежливо выслушали объяснение и вернулись к рассматриванию приборов в рубке. Трелл был так потрясен, что лишился дара речи. Невероятная теория движения цвета в многомерном пространстве свелась в паре фраз на чужом языке? Как! Техник вынужден был срочно изменить свое представление о примитивных грунтландцах. Они явно не были столь примитивны, как он наивно полагал сначала. :)
![[identity profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/openid.png){kind=small}
![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png)
timeasmymeasure
ИМХО
Date: 2007-03-03 12:31 am (UTC)no subject
Date: 2007-03-03 12:40 am (UTC)Нельзя так забивать голову ученику средней школы.
Если есть способ, которым можно любое число разделить на любое число, то использовать нужно именно его.
no subject
Date: 2007-03-03 09:41 am (UTC)no subject
Date: 2007-03-04 01:06 am (UTC)no subject
Date: 2007-03-06 06:21 pm (UTC)Речь идет о том, что "единый стандартный алгоритм" в everyday (а это тема учебника) практике редко кто применяет, обходятся самописными алгоритмами. Здесь эти алгоритмы даются в готовом виде, ничего не надо самому придумывать. Всего лишь. А крамола в признании факта, что люди для вычислений пользуются калькуляторами. Как будет вторгаться в сознание мысль о пользовании маткадом - страшно даже представить.
Кстати, деление чисел, кратных десяти, на десять как отбрасывание нуля есть абсолютно во всех учебниках, инаверняка было и в тех, по которым учились и вы. :)
no subject
Date: 2007-03-03 08:19 pm (UTC)no subject
Date: 2007-03-04 01:08 am (UTC)Более адекватным примерном будет деление дробей с длинными числами: 5543/11 разделить на 317/243. Ответ нужен до пятого знака. Обойдетесь без деления в столбик?
no subject
Date: 2007-03-04 01:54 am (UTC)А как Вы эти дроби в столбик вообще записываете? Без предварительного умножения 5543 на 243 и 11 на 317.
no subject
Date: 2007-03-04 03:09 am (UTC)А после умножения - замучаетесь использовать magic seven. Проверим.
Делим, значит, 1346949 на 3487. По методике волшебной семерки, нужно начать писать следующее:
1342089 - 1000*3487 = 998249
998249 - 100*3487 = 649549
649549 - 100*3487 = 300849
300849 - 100*3487 меньше нуля
300849 - 10*3487 = 265979
265979 - 10*3487= 231109
Мне уже надоело. И так для каждого разряда, которых у нас будет 9, ибо я попросил 5 знаков после запятой. Получаем где-то 45 строчек расчетов вместо девяти.
no subject
Date: 2007-03-04 03:11 am (UTC)Занудствую
Date: 2007-03-04 06:44 pm (UTC)Мне вот надоело считать, сколько будет 13469 разделить с остатком на 3487. :) Личные преференции не являются аргументом, ок?
Продолжим.
А почему Вы умножаете исключительно на десятки-сотни-тысячи? Сейчас прикину на бумажке, как бы я делала.
Эээ... Для начала, 3487*1000 - это БОЛЬШЕ 1 346 949, поэтому первое приближние у меня вовсе не 1000, а 300. Отнимаю 3487*300, т.е. 1 046 100.
1 346 949 - 1 046 100 = 300 849
Думаю, сколько раз наверняка 3400 с чем-то входит в 300 тысяч. Прикидываю, что 100 много, 50 мало, 75 считать лениво, но скорее 80, чем 70. Так что следующее 80. 3487*80=278 960. Отнимаю.
300 849 - 278 960 = 21 889
Пока что у меня ДВЕ строчки расчётов (для двух значащих цифр). :) Допускаю, что их может стать больше, чем по одной на цифру, но по крайней мере чётко и ясно, откуда это берётся.
Но суть Вашего изначального ...эээ... возмущения (я утрирую, да) была в том, что нужно учить метод, подходящий ко всем ситуациям, и был приведён пример, для которого такое деление, видимо, не подходит. Так?
Теперь претензия идёт на то, что писать много (что не факт, но неважно), значит, способ уже подходит и для деления дробей. Отлично. Способ подходит. Т.е. метод годится как стандартный. Так? ;)
Теперь возвращаемся к началу. В чём всё же претензия к этому методу? Он более логичный и понятный - это плюс. В чём же минус?
no subject
Date: 2007-03-04 10:27 pm (UTC)А школьники эти пока не умеют умножать в уме, поэтому это ваше "50 мало, 80 много" для них ничего не значит. То есть никакого "прикидываю" - отнимаем по 1000*, потом по 100*, потом по 10* и так далее.
Если я правильно посчитал - 52 строчки.
Мне надоело - вполне себе аргумент. Например, азбука Морзе состоит из сочетаний двух символов. Заменить ее системой из только одного (А - один гудок, Z - 26) - идея неудачная только потому что сообщения выйдут слишком длинными. Несмотря на то, что очень короткие сообщения можно отдельно договорится передавать именно так.
no subject
Date: 2007-03-05 04:03 am (UTC)Кстати, умножение и зубрёжка таблицы умножения у них по плану за год до этого деления. Уже знают. estimation в предыдущем семестре, так что прикидочное умножение у них к этому моменту уже есть.
Но Ваш аргумент выше виден.
Если есть способ, которым можно любое число разделить на любое число, то использовать нужно именно его. Вот он есть. ;) Универсальный, логичный, простой и понятный.
no subject
Date: 2007-03-05 07:04 am (UTC)no subject
Date: 2007-03-05 01:55 pm (UTC)(Зато иногда такие прикидки выдаёт - закачаешься. "Как думаешь, если каждый день учить три английских слова, сколько получится за месяц? В месяце 30 дней считаем." Ответ может быть любой от 10 до миллиона. Потому что не думает. В делении - думает (как ни странно) и сразу ответы получает.)
А Вы детям как объясняете наше деление в столбик? Просто как алгоритм, который удивительным способом даёт правильный ответ?
no subject
Date: 2007-03-07 12:21 am (UTC)Вероятно, я бы объяснил с самого начала, как оно работает, и мои объяснения были бы похожи на magic seven. Но конечным результатом я бы сделал нормальное деление в столбик, и никаких промежуточных тем и альтернативных способов я бы им не давал. Сначала нужно научить получать правильный ответ.
Похожая история была с волшебным словом FOIL. Если вы не знаете, это мнемоническое правило first-out-in-last для перемножения
(a+b)*(c+d)=ac+ad+bc+cd.
Даешь 20-летнему студенту: (x+1)^3, а он пишет, например:
(x+1)^3=(x+1)*(x+1)^2=x*x^2+x*1^2+1*x^2+1*1^2=x^3+2*x^2+1
Мотивация "We did it this way in school. I foiled it"
(no subject)
From:Re: ИМХО
Date: 2007-03-03 01:27 am (UTC)Re: ИМХО
Date: 2007-03-03 08:23 pm (UTC)Re: ИМХО
Date: 2007-03-03 10:24 pm (UTC)Re: ИМХО
Date: 2007-03-04 01:09 am (UTC)Re: ИМХО
Date: 2007-03-04 01:51 am (UTC)(Кстати, понимание разрядов чисел я вижу именно в том, "не-нашем" делении. ;))
Факт отвратительной мат. подготовки американских школьников (в России имела дело только с математиками, а это нерепрезентативная выборка) мною был тоже замечен ещё в американском универе, где приходилось инженеров учить тригонометрии с нуля практически.
Re: ИМХО
Date: 2007-03-04 10:27 am (UTC)Деление в столбик это именно деление с помощью итераций деления , а не замена его умножением и сложением ,как во всех этих методах.
Очень хорошей иллюстрацией моего отношения к проблеме современного преподавания математики и естественнонаучных дисциплин отражает вот эта статья:
ПЯТОЕ ПРАВИЛО АРИФМЕТИКИ
Re: ИМХО
Date: 2007-03-04 07:02 pm (UTC)Все эти методы "триковые", а не строго математические.Попробуйте разяснить ребёнку почему надо делать именно так, а не иначе. С классическим методом всё просто, а с этими фокусами объяснение будет либо очень сложным , либо "такой способ, так и делай.
После чего я дала (мне кажется) логичное обяснение делению magic seven и спросила разъяснения стандартного способа деления, ибо Вы, судя по вышеприведённому отрывку, считаете, что эту логику объяснить просто.
На что я получила пространный рассказ о плохом качестве преподавания математики в американских школах, с которым я абсолютно согласна. Вот только как всё же "просто" объяснить, откуда ноги растут у стандартного деления в столбик?
В делении magic seven замена на умножение происходит не более, чем в стандартном делении в столбик. Там мы тоже умножаем цифру, которую пришем в результат, на делитель. И скорее эта семёрка является именно итерацией, если Вам будет угодно, деления. Так как при делении 125 на 5 мы получаем не 2, а 20 в первом приближении.
Я честно просто хочу объяснять то, что понятнее (и что даёт быстрый и правильный результат). Мне привычнее наше деление, зазубренное в школе, но оно на самом деле менее понятное и логичное, чем эта семёрка. ИМХО. И я честно прошу помощи в объяснении логики нашего деления.
За статью спасибо. С тем, что преподавание математики оставляет желать лучшего я безусловно согласна и по мере сил пытаюсь это исправить.
Re: ИМХО
Date: 2007-03-04 11:48 am (UTC)цитата
Бур подошел к Треллу и дружески обнял пришельца за узкие зеленые плечи.
— Ответь-ка мне на один вопрос, пижон.
Трелл преданно посмотрел на возвышающегося над ним грунтландца:
— Если сумею, сэр.
— Зачем, черт возьми, все здесь выкрашено в белый цвет? — с любопытством поинтересовался Бур. — Стены, полы, потолки, двери. Разве там, откуда вы прилетели, белая краска самая дешевая, или что?
На этот вопрос было нелегко ответить, но Трелл постарался изо всех сил. Тщательно подбирая самые простые слова и термины, он рассказал бандитам о гиперкосмосе, поведал о взаимозависимости между цветом и скоростью, которая существует только в этом удивительном пространстве. Он выбросил всю математику и пытался объяснить вещи предельно просто, но все равно ему потребовалось некоторое время, чтобы рассказать обо всем. Пока он говорил, транслятор хранил молчание. Когда лекция была закончена, транслятор заработал, используя самые понятные для слушателей научные термины.
— Длинное заклинание, — объяснила коробочка на поясе Трелла, — сильное волшебство. Если не белый, корабль не летит быстро.
“Кровавые Вышибалы” вежливо выслушали объяснение и вернулись к рассматриванию приборов в рубке.
Трелл был так потрясен, что лишился дара речи. Невероятная теория движения цвета в многомерном пространстве свелась в паре фраз на чужом языке? Как! Техник вынужден был срочно изменить свое представление о примитивных грунтландцах. Они явно не были столь примитивны, как он наивно полагал сначала.
:)
Re: ИМХО
Date: 2007-03-04 06:47 pm (UTC)